Teoria dei numeri – dagli Egizi a Tao

La lezione del professor Pappalardi è iniziata introducendo il concetto di frazione egiziana, ovvero una frazione con numeratore pari a 1. Una qualsiasi frazione positiva, può essere scritta come somma di più frazioni egiziane (ad esempio: 13/12 = 1/2 + 1/3 + 1/4) e per rappresentarle gli egizi chiaramente utilizzavano dei simboli; in particolare il professore ci ha fatto osservare che nell’occhio di Iside sono racchiusi i simboli delle potenze negative di 2 fino a 1/64.
Per scrivere una frazione composta da numeri interi positivi sia al numeratore che al denominatore, come somma di più frazioni egiziane, si può usare l’algoritmo di Fibonacci: se abbiamo una generica frazione m/n, sia n = k*m + r, dove k è un numero intero positivo, e r è il resto della divisione tra n e m (0 < r < m), quindi m/n = 1/(k + 1) + (m – r)/[(k + 1)*n]; nel caso in cui non sia somma di due frazioni egiziane bisogna ripetere il procedimento per la seconda frazione.
Nel caso in cui abbiamo una frazione del tipo 4/n, essa si può scrivere, con la congettura di Erdős-Straus, come somma di 1/x + 1/y + 1/z, dove x, y, z appartengono all’insieme N e sono diversi tra loro. Questa congettura è stata verificata in seguito da Swett per ogni n < 2*10^14.
Ad Erdős, matematico del 1900 il cui interesse esclusivo era discutere di questa materia con altre persone, è legato il cosiddetto “numero di Erdős”, ovvero il “grado” di collaborazione con quest’ultimo; per esempio il professor Pappalardi, avendo lavorato con un matematico che ha collaborato direttamente con lui, ha come numero di Erdős 2. In media un matematico ha numero di Erdős pari a 3, questo non ci stupisce dato che Erdős ha scritto più di 1500 articoli e collaborato con più di 500 matematici.
Tra le varie immagini proiettate ci siamo soffermati sulla foto di Erdős in compagnia di un particolare “epsilon” (termine da lui coniato per definire i bambini), particolare in quanto non si tratta di un bimbo qualunque ma di Terence Tao, il più giovane matematico ad aver vinto la medaglia Fields. Quest’ultimo ha formulato, insieme a Ben Green, il teorema di Green-Tao; esso afferma che esistono le AP-k che sono successioni aritmetiche di k numeri primi, tutti alla stessa distanza n tra loro, con n compreso tra 0 e (k – 1). Per esempio l’AP-3 è formato dalla successione di numeri primi 3 5 7, ottenuta partendo dal numero 3 e sommando n = 2. Oggi sono note le progressioni fino a AP-25.
Nel complesso la lezione è risultata particolarmente interessante poiché si differenzia dalle lezioni di routine alle quali si è abituati nelle scuole superiori.

Il seminario è stato tenuto da Francesco Pappalardi, professore ordinario presso il Dipartimento di Matematica e Fisica dell’Università di Roma Tre.

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